منوعات

حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

بحساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل ، يقدم لك موقع المقال مقال كوم حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل ، حيث مفهوم المخروط هو أنه مادة صلبة لها قاعدة واحدة فقط وهي مسطحة ودائرية الشكل ولها نقطة مدببة تقع أعلاه وتسمى (رأس المخروط).

احسب حجم مخروط الدوران بالتكامل

ما هو حساب حجم مخروط الدوران بالتكامل؟ تم الإبلاغ عن أن ذلك يعني أن الجسم ينشأ من دوران الشكل ، وأن هذا الجسم الهندسي مسطح حول خط مستقيم ، هو في الواقع الجسم الدوراني الموجود في مستوى الشكل الهندسي ، على سبيل المثال:

  • يتم إنشاؤه عن طريق تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد جانبي القائمة ، المخروط الدائري الأيمن ، حيث يكون الجانب هو محور الدوران.
  • بالإضافة إلى ذلك ، سيتم ذكر ما إذا كان محور الدوران هو المحور السيني أو المحور الصادي.

لكي نحصل على المنحنى y = d (x) ، نحن مطالبون بالحصول على الحجم الناتج عن دوران المنطقة التي تقع على منحنى الوظيفة والخطين:

  • س = أ ، س = ب حول المحور السيني ؛ لذلك ، يتم تقسيم المساحة إلى مستطيلات صغيرة.
  • بحيث يكون الحجم النهائي لمجموع المستطيلات التي نشأت من خلال دوران هذه المستطيلات وبالنظر إلى (ص) طول المستطيل ، (∆ س) العرض.
  • وبالتالي ، فإن حجم الأسطوانة التي نحصل عليها هو = m r² ×.

يمكنك أيضًا التعرف على: كيفية حساب مساحة المخروط

قانون حجم المخروط

من بين أهم الأشياء التي يجب أن نعرفها لإيجاد قوانين الحجم والمساحة للمخروط:

  • نصف القطر: المسافة بين مركز القاعدة الدائرية ومحيطها.
  • الارتفاع أيضًا: هو العمود الذي يتم إنشاؤه بين مركز القاعدة الدائرية والرأس المخروطي للمخروط. حيث يتم عمل الزاوية الصحيحة مع القاعدة الدائرية.
  • مائل: أو يسمى الارتفاع الجانبي ، هو المسافة بين أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية والرأس المخروطي.

حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.

رمزياً: حجم المخروط = 1/3 x (x min²) xp ؛ بما أن مساحة القاعدة = π x r²؛ تم تحضيره:

  • المرجع: نصف قطر القاعدة.
  • P: ارتفاع المخروط.
  • و: رقم ثابت يقدر بـ 3.14 أو 7/22.

ملاحظة: هناك علاقة بين حجم المخروط والأسطوانة وهي أشبه بالعلاقة بين حجم الهرم والمنشور.

عندما يتساوى ارتفاع المخروط مع الأسطوانة ، سيكون حجم الأسطوانة ثلاثة أضعاف حجم المخروط.

قانون حجم المخروط المقطوع والمائل

يعتبر المخروط الذي تم قطع جزء مما ورد أعلاه بحيث يكون القطع عموديًا على الارتفاع ، وهو (المخروط المقطوع).

بطرح حجم الجزء الذي تم قطعه من المخروط الكبير الذي له القاعدة ، يمكن حساب (حجم المخروط المقطوع) ، أو يمكننا اتباع الصيغة التالية:

  • حجم المخروط المقطوع = (1/3 × π × w × (naq *) ² + (naq * × naq) + (naq) ²) ، ويعتبر:
  • الصقل: نصف قطر القاعدة السفلية للفروستوم.
  • الصقل: نصف قطر القاعدة العلوية للمخروط المقطوع.
  • P: ارتفاع المخروط المقطوع.

نجد أيضًا أن المخروط الذي لا يقع قمته بشكل مستقيم مع مركز القاعدة هو (المخروط المائل).

يتم حساب حجمه باستخدام نفس طريقة حجم مخروط قائم.

أمثلة على حساب حجم المخروط

المثال الأول

مخروط ارتفاعه 18 سم ونصف قطره 8 سم يوضح حجمه.

الحل:

  • نصف قطر المخروط يساوي 8.
  • وارتفاع المخروط يساوي 18.

من خلال استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط ، وهي: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، تكون النتيجة:

  • حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 8² × 18 = 1205.76 سم مكعب.

المثال الثاني

مخروط نصف قطره 12 سم ، وارتفاعه 14 سم ، يذكر حجمه.

الحل:

  • نصف قطر المخروط يساوي 12.
  • بالإضافة إلى ارتفاعه يساوي 14.

استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط ، وهي: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، النتيجة هي:

حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 12² × 14 = 2111 سم مكعب.

المثال الثالث

مخروط مقطوع بنصفين قاعدتين طوله 6 سم وارتفاعه 2 سم وارتفاعه 10 سم. ما هو حجمها؟

الحل:

وعند استخدام الصيغة: حجم المخروط المقطوع = 1/3 × π × z × ((naq *) ² + (naq * × naq) + (naq) ²) ، واستبدال القيم المذكورة فيه. ، النتيجه هي:

  • حجم المخروط المقطوع = 1/3 × 3.14 × 10 × ((2) ² + (2 × 6) + (6) ²) = 544.54 سم مكعب.

المثال الرابع

مخروط قطره 15 سم وارتفاعه 16 سم مع ذكر حجمه.

الحل:

  • ونجد أن قطر المخروط يساوي 15 سم ، لذا فإن نصف قطره: 15/2 = 7.5 سم ، وارتفاعه يساوي 16 ،

عندما تستبدل القيم المذكورة في قانون حجم المخروط ، وهي: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، تكون النتيجة:

حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 7.5² × 16 = 942 سم مكعب.

المثال الخامس

بحث في الهندسة في الرياضيات

الزوايا التكميلية والمتكاملة

دور المهندس المدني في المجتمع

يشير مخروط نصف قطره 24 سم وارتفاع ضلعه 25 سم إلى حجمه.

الحل:

  • أيضًا ، حساب ارتفاع المخروط من ارتفاعه الجانبي ، باستخدام الصيغة التالية: الارتفاع الجانبي = (الارتفاع المربع + مربع نصف القطر) √ ؛ حيث: الارتفاع = (25 ²-² 24) = 7 سم.

استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط ، وهي: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، النتيجة هي:

نحسب حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 24² × 7 = 4220.16 سم³.

المثال السادس

إذا كان معدل سقوط الرمال من المخروط العلوي إلى المخروط السفلي في الساعة الرملية المكونة من مخروطين يلتقيان برأسهما في نفس النقطة هو 50 مم / ثانية.

كما يبلغ ارتفاع الرمل في المخروط العلوي 24 مم ونصف القطر 10 مم. حدد الوقت اللازم لانتقال الرمال بالكامل من المخروط العلوي إلى الأسفل.

الحل

عند استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط لحساب حجم الرمل في المخروط العلوي ، وهو: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، تكون النتيجة هي : حجم الرمل في المخروط العلوي = 1/3 × 3.14 × 10² × 24 = 2512 مم³.

احسب أيضًا الوقت اللازم لانتقال الرمال من المخروط العلوي إلى الأسفل ، وذلك بقسمة حجم الرمال على معدل سقوطها ؛ والنتيجة هي: الوقت المطلوب لنقل الرمال بالكامل = 2512/50 = 50.24 ثانية.

كيفية حساب مساحة المخروط

المثال السابع

مخروط مائل بقطر 12 م وارتفاعه 15 م يذكر حجمه.

الحل:

  • قطر المخروط 12 م ، لذا نصف قطره: 12/2 = 6 م.
  • وارتفاعه 15 م.

استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط ، وهي: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، النتيجة هي:

حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 6² × 15 = 565.2 م.

المثال الثامن

إذا كان حجم المخروط 169 سم مكعب ونصف القطر 4 سم ، فما ارتفاعه؟

الحل:

عن طريق استبدال القيم المذكورة في قانون الحجم المخروطي ، وهي:

  • حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
  • والنتيجة هي: 169 = 1/3 × 3.14 × 4² × الارتفاع ، وهذا الارتفاع = 10.1 سم.

المثال التاسع

محيط قاعدة الخيمة المخروطية 44 م. احسب كمية الهواء بداخله مع العلم أن ارتفاعه 9 أمتار.

الحل:

  • كمية الهواء داخل الخيمة تساوي حجم الخيمة المخروطية.
  • ثم يجب حساب حجم الخيمة عن طريق استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط.

ومع ذلك ، يجب أولاً إيجاد نصف قطر القاعدة الدائرية باستخدام قانون محيط الدائرة ، وهو:

محيط الدائرة = 2 x π x Naq ، ومنها: 44 = 2 x 3.14 x Naq ، وعليها: Naq = 7 m ، وهو نصف قطر الخيمة.

بالإضافة إلى استبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، تكون النتيجة:

حجم الخيمة = 1/3 × 3.14 × ²7 × 9 = 462 م³ ، وهي كمية الهواء بداخلها.

المثال العاشر

حجم المخروط 9π وحدات مكعبة ، وارتفاعه يساوي نصف قطره. احسب قيمة نصف قطرها.

الحل:

بافتراض أن قيمة نصف القطر = x ، والتي تساوي الارتفاع ، وفقًا لبيانات السؤال ، واستبدال القيم المذكورة في قانون حجم المخروط ، تكون النتيجة:

حجم المخروط = 1/3 x مساحة القاعدة x الارتفاع ، ومنه: 1/3 x π xx تربيع xx = 9 π.

بتبسيط المعادلة ، ثم أخذ الجذر التكعيبي للطرفين ، تكون النتيجة:

X = 3 وحدات ، وهي قيمة كل من الارتفاع ونصف القطر.

المثال الحادي عشر

ارتفاع مخروط كبير 18 م ونصف قطره 4 م. يمكن ملؤها بالماء بمعدل 3 م 3 كل 25 ثانية. احسب الوقت المطلوب لملء المخروط بالكامل.

الحل:

لمعرفة سعة مخروط من الماء ، احسب حجمه باستخدام الصيغة: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع ، ومنه: حجم المخروط = 1 / 3 × 3.14 × 4² × 18 = 301.44 م.

أيضًا ، حساب الوقت المطلوب لملء المخروط = حجم المخروط / معدل ملئه بالماء = 301.44 متر مكعب (3 متر مكعب / 25 ثانية) = 2512 ثانية = 41 دقيقة و 53 ثانية.

تجد هنا أيضًا: نشأة الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة

حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل ، مفهوم حجم المخروط (حجم المخروط) هو مقدار المساحة التي تشغل كائنًا ثلاثي الأبعاد ، أو مقدار سعته ، ويتم القياس في العديد من الوحدات المكعبة ، مثل البوصة والقدم ³ و cm³ و m³.

السابق
الكويت تهتم بالمبدعين من ابنائها
التالي
اختار الإجابة كلما كان الالكترون في مستوى ابعد من النواه كلما كان ارتباطه